多重線形代数を用いた向きの定式化

n 次元のベクトル空間 V に対して、その n次外積 ΛnV を考えることができるが、これは1次元の実ベクトル空間になっている。この直線上に向きを定めることが V の向きを定めることになる。ΛnV 上には「元々」決まった向きというものはないので、この向きの選択は恣意的なものである。ΛnV 上の向きはその 0 でないベクトル ω ^ {\displaystyle {\hat {\omega }}} {\displaystyle {\hat {\omega }}} を一つ選ぶことによっても指定することができる。

この方法による向きの定式化と始めに導入された基底による向きの定式化の関係は、線型写像 

 によって与えられる。考えている向き付けにおいて ω が（順序付き）基底の集合の上に定める写像（ωが交代n形式なのでn個の順序づけられたベクトルに対し ω は実数値を与える）によって与えられる。ω が正の値を与えるような基底が、正の向きを持った基底だと言うことができる。 ω ^ {\displaystyle {\hat {\omega }}} {\displaystyle {\hat {\omega }}}は体積要素、ω は体積形式とも呼ばれる。(ei)i = 1nが正の向きを持つ基底のとき、対応する体積要素は e1∧e2∧…∧en になる。

ここでの向きの定式化と基底の変換行列の行列式との関係は、V上の線形変換の行列式が最高次外積上に引き起こすスカラー作用と理解できることによって与えられる。

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